산술평균 vs 기하평균 수익률: 평균이 플러스인데 계좌가 줄어드는 이유

수익률을 비교할 때 가장 흔히 쓰는 숫자는 "한 달 평균 몇 %"입니다. 그런데 매달 수익률을 더해 개수로 나눈 산술평균은 계좌가 실제로 얼마나 불어났는지를 알려주지 않습니다. 계좌 잔고는 수익률이 곱해지며 움직이기 때문에, 실제 성장 속도는 기하평균으로 계산해야 맞습니다. 두 숫자의 차이는 변동성이 클수록 벌어지고, 레버리지를 쓰는 코인 선물에서는 그 차이가 수익과 손실을 가를 만큼 커집니다. 본문 숫자는 계산 구조를 보여주기 위한 가정 예시입니다.

1. 두 평균의 정의

기간별 수익률이 r₁, r₂, …, rₙ일 때 두 평균은 다음과 같이 계산합니다.

· 산술평균(A) = (r₁ + r₂ + … + rₙ) ÷ n
· 기하평균(G) = [(1 + r₁) × (1 + r₂) × … × (1 + rₙ)]^(1/n) − 1

산술평균은 "한 기간에 평균적으로 기대할 수 있는 수익률"이고, 기하평균은 "매 기간 같은 비율로 불어났다고 쳤을 때의 성장률"입니다. 계좌 잔고의 최종값을 그대로 재현하는 것은 기하평균뿐입니다. 복리 계산 자체는 복리 수익 글에 정리돼 있습니다.

2. +50%와 −50%의 평균은 0%가 아니다

가장 단순한 예로 차이를 확인합니다.

손실 뒤에는 줄어든 금액에서 다시 출발하기 때문에, 같은 비율의 이익과 손실이 번갈아 나오면 잔고는 줄어듭니다. 잃은 비율을 되찾는 데 필요한 수익률은 드로다운 회복 글에 표로 정리돼 있습니다.

3. 실제 월별 수익률로 계산해 보기

성과표에 "월평균 5%"만 적혀 있으면 실제 성장률이 4.22%였다는 정보는 사라집니다. 기간이 길수록 이 차이는 복리로 벌어집니다. 연 단위로 환산할 때는 CAGR(연평균 성장률)이 바로 이 기하평균을 쓰는 지표입니다.

4. 변동성이 기하평균을 깎는다 — G ≈ A − σ²/2

두 평균의 차이는 대부분 수익률의 흔들림, 즉 변동성에서 나옵니다. 수익률이 아주 크지 않을 때는 다음 근사식이 잘 맞습니다.

기하평균 ≈ 산술평균 − (표준편차²) ÷ 2

식에서 보듯 변동성은 제곱으로 들어갑니다. 변동성이 2배가 되면 깎이는 양은 4배가 됩니다. 이 손실을 따로 부르는 이름이 변동성 드래그입니다.

5. 평균은 같은데 결과가 다른 두 전략

그래서 전략을 비교할 때는 평균 수익률과 함께 수익률의 흔들림을 반드시 같이 봐야 합니다. 같은 흐름을 잔고 그래프로 확인하는 방법은 자산 곡선(에쿼티 커브) 글에 있습니다.

6. 레버리지는 산술평균보다 변동성을 더 빨리 키운다

레버리지를 L배로 올리면 산술평균은 L배가 되지만 분산은 L²배가 됩니다. 어느 지점을 넘으면 레버리지를 올릴수록 기하평균이 오히려 줄어듭니다.

매일 일정 배율을 다시 맞추는 상품에서 이 현상이 그대로 드러납니다. 구조는 레버리지 토큰 리밸런싱 감쇠 글에서 자세히 다뤘습니다.

7. 한 번에 거는 비율이 크면 기대값이 플러스여도 진다

거래 한 번에 계좌의 얼마를 거느냐도 같은 원리로 작동합니다. 승률과 손익비가 같아도 베팅 비율을 키우면 산술평균은 커지지만 기하평균은 어느 순간 마이너스로 돌아섭니다.

기하평균을 최대로 만드는 베팅 비율을 계산하는 공식이 켈리 공식입니다. 실무에서는 그보다 작게 거는 이유와 위험 비율 정하는 법은 포지션 크기 계산 글을 참고합니다.

8. 내 성과에서 기하평균 구하기

월별 수익률을 하나하나 곱할 필요 없이 시작 잔고와 끝 잔고만 있으면 됩니다. 입출금이 있었다면 그 금액을 빼고 계산해야 합니다.

산술평균과 기하평균의 차이가 크게 벌어져 있다면 수익률의 흔들림이 크다는 뜻이고, 보통 사이징이나 레버리지를 줄일 여지가 있다는 신호입니다. 같은 평균에서도 손익이 나오는 순서에 따라 경로가 달라지는 문제는 수익 순서 위험 글, 개인 계좌의 성장률과 집단 평균이 다른 이유는 에르고딕성과 트레이딩 글에 있습니다.

9. 성과 수치를 읽을 때 확인할 것

· "평균 수익률"이 산술평균인지 기하평균(또는 CAGR)인지
· 수익률의 표준편차나 최대 낙폭이 함께 제시돼 있는지
· 기간 중 입출금이 수익률에 섞여 있지 않은지
· 거래당 평균만 있고 잔고 기준 누적 결과가 없는지

산술평균만 제시된 성과는 실제 계좌 성장보다 좋아 보이기 쉽습니다. 특히 변동성이 큰 코인 선물 전략일수록 두 숫자의 차이를 먼저 계산해 보는 편이 안전합니다. 여러 경로를 시뮬레이션해 분포로 보는 방법은 몬테카를로 시뮬레이션 글을 참고합니다.

정리

산술평균은 한 기간의 평균 기대값이고, 기하평균은 계좌가 실제로 불어난 속도입니다. 둘의 차이는 대략 분산의 절반이며, 변동성이 커질수록 제곱으로 벌어집니다. 그래서 같은 평균 수익률이라도 흔들림이 큰 전략은 덜 불어나고, 레버리지나 베팅 비율을 지나치게 키우면 평균이 플러스여도 계좌는 줄어듭니다. 성과를 판단할 때는 시작·끝 잔고로 기하평균을 직접 계산하고, 변동성 수치와 함께 읽는 것이 기본입니다.

주의

본문의 수익률, 잔고, 표준편차, 레버리지 배율은 계산 구조를 보여주기 위한 가정 예시이며 특정 전략이나 계좌의 실제 성과가 아닙니다. 근사식 G ≈ A − σ²/2는 수익률이 작을 때 잘 맞고, 수익률이 크거나 분포가 한쪽으로 치우치면 오차가 커집니다. 이 글은 교육 정보이며 특정 자산의 매매 권유가 아닙니다. 코인 선물 거래는 원금 손실 위험이 크고, 투자 판단과 그 결과는 본인 책임입니다.