수익률 첨도 계산과 초과 첨도가 리스크 관리에 주는 의미

첨도(Kurtosis)는 수익률이 평균 근처에 몰려 있다가 가끔 크게 튀는 정도를 재는 숫자입니다. 표준편차는 "평균적으로 얼마나 흔들리나"를 알려 주지만, "가끔 얼마나 크게 터지나"는 알려 주지 않습니다. 그 빈칸을 채우는 것이 첨도입니다. 이 글은 계산식, 숫자 예시, 손절·레버리지·VaR에 미치는 영향과 추정할 때의 함정을 정리합니다. 본문 숫자는 계산 구조를 보여주는 가정 예시입니다.

1. 계산식

첨도는 평균에서 벗어난 정도를 네제곱해 평균낸 값(4차 중심적률)을 분산의 제곱으로 나눈 것입니다. 네제곱이라 작은 편차는 거의 0이 되고, 큰 편차는 압도적으로 커집니다. 그래서 첨도는 사실상 꼬리의 크기를 재는 지표입니다.

엑셀의 KURT 함수, 파이썬 pandas의 kurt()는 표본 보정이 들어간 초과 첨도를 돌려줍니다. 도구마다 3을 뺐는지, 표본 보정을 했는지가 달라 같은 데이터로 다른 값이 나올 수 있으니 기준부터 확인합니다.

2. 표준편차가 같아도 다른 두 표본

일별 수익률 20개짜리 표본 두 개를 비교합니다. 둘 다 평균 0%, 표준편차 1%로 같습니다.

B는 대부분의 날이 조용하다가 이틀에 몰아서 움직입니다. 코인 수익률이 보통 이런 모양입니다. 평소에는 표준편차보다 덜 움직이니 "변동성이 낮다"고 느끼기 쉽고, 그 감각으로 포지션을 키웠다가 꼬리 하루에 크게 맞습니다. 분포의 좌우 비대칭은 왜도가, 꼬리 두께는 첨도가 담당합니다.

3. 3시그마는 생각보다 자주 온다

정규분포라면 ±3 표준편차를 넘는 날은 0.27%입니다. 1년 365일 기준 약 1일입니다. 꼬리가 두꺼운 분포의 예로 자유도 5인 t분포(초과 첨도 6)를 같은 표준편차로 맞춰 계산해 봅니다.

꼬리가 두꺼운 분포 전반의 모양과 원인은 팻테일 수익률 분포에서 따로 다룹니다. 이 글은 그 두께를 숫자 하나로 재는 법과, 그 숫자가 계산에 어떻게 들어가는지에 집중합니다.

4. 첨도가 VaR를 얼마나 틀리게 만드나

VaR를 "평균 − z × 표준편차"로 계산하면 정규분포를 가정한 것입니다. 첨도가 높으면 이 값이 손실을 작게 잡습니다.

99%에서는 차이가 12% 정도지만 99.9%로 가면 48% 차이가 납니다. 첨도의 영향은 꼬리 깊숙한 곳일수록 커집니다. 계좌를 끝내는 손실은 바로 그 깊은 꼬리에서 나오므로, 정규 가정 VaR는 가장 중요한 구간에서 가장 크게 틀립니다.

5. 레버리지와 청산 확률

레버리지 거래에서는 첨도가 곧 청산 빈도입니다. 10배 레버리지에서 약 10% 역행하면 청산된다고 단순화해 계산합니다(실제 청산가는 유지증거금과 수수료 때문에 조금 더 가깝습니다).

표준편차로만 레버리지를 정하면 "몇 년에 한 번 일어날 일"을 1년 안에 여러 번 겪을 수 있습니다. 하루 단위가 아니라 장중 저가로 보면 확률은 더 커집니다. 레버리지와 파산 확률의 관계는 파산 확률, 변동성 기준 사이징은 변동성 타깃 포지션 크기를 참고하세요.

6. 첨도는 극단값 하나에 크게 흔들린다

네제곱을 쓰는 만큼 첨도 추정값은 가장 큰 관측치 한두 개가 거의 결정합니다. 표본이 짧으면 숫자 자체를 믿기 어렵습니다.

여기서 두 가지 결론이 나옵니다. 첫째, 조용한 기간의 데이터로 잰 첨도는 실제 꼬리를 과소평가합니다. 큰 하락이 표본에 아직 안 들어왔을 뿐일 수 있습니다. 둘째, 반대로 큰 사건 직후에 잰 첨도는 그 한 사건에 지배됩니다. 그래서 첨도는 여러 기간을 나눠 계산해 범위를 보고, 한 번 잰 값을 상수처럼 쓰지 않습니다. 표본 길이가 결과를 얼마나 바꾸는지는 거래 표본 크기에서도 같은 구조로 설명합니다.

7. 실무에서 쓰는 순서

① 일별 수익률로 표준편차와 초과 첨도를 함께 계산합니다. 기간은 최소 1~2년, 가능하면 급락 구간을 포함합니다.
② 초과 첨도가 크게 양수라면 정규 가정 VaR·손절 폭·레버리지 계산을 그대로 쓰지 않습니다. t분포 같은 두꺼운 꼬리 분포로 다시 계산하거나, 실제 과거 수익률을 그대로 재표본하는 몬테카를로 시뮬레이션으로 손실 분포를 봅니다.
③ 최대 손실 기준은 "평균적인 날"이 아니라 과거 최악의 며칠로 점검합니다. 포지션이 그날을 버티는지 계산해 보는 것이 첨도 숫자보다 직관적입니다.
④ 시간 단위를 바꿀 때 주의합니다. 변동성을 √시간으로 늘리는 제곱근 법칙은 꼬리 모양까지 옮겨 주지 않습니다. 1분봉·1시간봉 수익률의 첨도는 보통 일봉보다 높습니다.

8. 전략 성과표에서의 첨도

전략 수익률에도 같은 논리가 적용됩니다. 평소에 작은 수익을 꾸준히 쌓다가 가끔 크게 잃는 전략(옵션 매도, 손절 없는 물타기 등)은 표준편차가 낮고 샤프 비율이 좋아 보이지만, 왼쪽 꼬리가 두껍고 첨도가 높습니다. 샤프 비율은 첨도를 반영하지 않으므로, 성과표에는 첨도·최악 거래·최대 낙폭을 같이 적어야 같은 샤프의 두 전략을 구분할 수 있습니다.

정리

첨도는 수익률 분포의 꼬리 두께를 재는 숫자이고, 정규분포 기준 3(초과 첨도 0)입니다. 표준편차가 같아도 첨도가 높으면 큰 움직임이 훨씬 자주 옵니다. 예시에서 3시그마 빈도는 4.3배, 10배 레버리지 청산 간격은 약 9배 짧아졌고, 99.9% VaR는 48% 과소추정됐습니다. 다만 첨도 추정값은 극단값 하나에 크게 흔들리므로, 단일 숫자보다는 여러 기간의 범위와 과거 최악의 날 기준 점검을 함께 씁니다.

주의

본문의 수익률, 표준편차, 포지션 금액, 전략 예시는 계산 구조를 보여주기 위한 가정 예시이며, t분포(자유도 5)는 두꺼운 꼬리를 설명하기 위한 비교 모형일 뿐 특정 코인의 실제 분포가 아닙니다. 실제 값은 종목과 기간, 데이터 출처에 따라 다릅니다. 이 글은 교육 정보이며 특정 자산의 매매 권유가 아닙니다. 코인 선물 거래는 원금 손실 위험이 크고, 투자 판단과 그 결과는 본인 책임입니다.