변동성 시간 환산 — 하루 변동성을 1시간·1주·1년으로 바꾸는 루트 시간 법칙

루트 시간 법칙(square-root-of-time rule)은 기간이 n배 길어지면 가격 변동의 크기(표준편차)가 n배가 아니라 √n배 커진다는 계산 규칙입니다. 하루 변동성이 3%라고 해서 일주일 변동성이 21%가 되지 않고, 약 7.9%가 됩니다. 차트의 시간 단위를 바꿀 때, 손절폭을 정할 때, 레버리지 포지션이 며칠 안에 청산가에 닿을 가능성을 가늠할 때 모두 이 환산이 필요합니다. 이 글은 환산 공식, 표본에서 변동성을 구하는 법, 실전 적용 예시, 공식이 맞지 않는 조건을 순서대로 정리합니다. 본문의 가격·변동성·확률은 모두 설명용 가정입니다.

왜 제곱근인가

하루하루의 수익률이 서로 독립이라고 가정하면, 여러 날의 수익률을 더했을 때 분산은 날짜 수만큼 더해집니다. 하루 분산이 σ²이면 n일 분산은 n × σ²입니다. 변동성은 분산의 제곱근이므로 n일 변동성은 √(n × σ²) = σ × √n이 됩니다.

직관적으로 보면, 어떤 날은 오르고 어떤 날은 내리면서 서로 일부를 상쇄하기 때문에 움직임이 날짜 수에 정비례해서 쌓이지 않습니다. 같은 방향으로만 매일 움직인다면 n배가 맞겠지만, 방향이 무작위에 가까우면 √n배로 줄어듭니다.

이 계산은 단순 수익률보다 로그 수익률에서 더 정확하게 성립합니다. 로그 수익률은 기간끼리 그대로 더할 수 있기 때문입니다. 하루 변동폭이 수 % 수준이면 두 방식의 차이는 작습니다.

기본 환산표

여기서 첫 번째 함정이 보입니다. 코인은 주말 없이 365일 거래되기 때문에 연환산에 √365를 쓰는 것이 일반적이고, 주식은 거래일 기준 √252를 씁니다. 같은 일간 변동성 3%가 어느 관례를 쓰느냐에 따라 연 57.3%도 되고 47.6%도 됩니다. 다른 자료의 연간 변동성이나 샤프 비율을 비교할 때는 어떤 기준으로 연환산했는지부터 확인해야 합니다.

예시 1 — 수익률 5개로 일간 변동성 구하기

분모를 n이 아니라 n − 1로 나누는 것은 표본 평균을 이미 데이터에서 계산했기 때문에 생기는 보정입니다. 실제로는 5개로는 너무 적고, 최소 30~60일치 이상을 쓰는 것이 보통입니다. 같은 기간이라도 최근 값에 가중치를 더 주는 지수가중 방식은 변동성 타겟팅 글에서 다룹니다.

예시 2 — 손절폭을 표준편차 단위로 보기

0.5% 손절은 숫자로는 작아 보이지만 4시간 기준으로는 평범한 흔들림의 절반도 안 되는 거리입니다. 아무 정보가 없는 진입이라도 열에 일곱 번 가까이 걸린다는 뜻입니다. 손절폭을 "몇 %"가 아니라 "보유 시간 동안의 몇 σ"로 보면 너무 촘촘한 손절이 바로 보입니다. 같은 생각을 가격 범위로 바로 쓰는 지표가 ATR입니다. ATR도 시간 단위를 바꾸면 대략 √시간 비율로 커지거나 작아집니다.

손절폭을 넓히면 맞을 확률은 줄지만 한 번 맞았을 때 손실이 커집니다. 그래서 손절폭을 넓힌 만큼 수량을 줄여 1회 손실 금액을 같게 맞추는 것이 기본입니다.

예시 3 — 레버리지 포지션이 며칠 안에 청산가에 닿을 가능성

하루만 보면 거의 일어나지 않을 일처럼 보이는 거리도 보유 기간이 길어지면 확률이 빠르게 커집니다. 거리는 고정인데 변동성은 √시간으로 계속 커지기 때문입니다. "10배면 10% 빠져야 청산이니 괜찮다"는 판단은 보유 기간을 빼고 한 계산입니다. 위 숫자도 정규분포 가정이라 실제보다 낮게 나올 가능성이 큽니다(아래 한계 참고). 청산가 계산 자체는 청산 글을 참고하세요.

공식이 틀어지는 세 가지 경우

① 수익률에 자기상관이 있을 때 — 루트 시간 법칙은 날마다 수익률이 독립이라는 가정 위에 있습니다. 오른 다음 날 또 오르는 경향(양의 자기상관)이 있으면 실제 다기간 변동성은 공식보다 크고, 반대로 되돌리는 경향(음의 자기상관)이 있으면 작습니다.

기간이 길어질수록 이 차이는 누적됩니다. 자기상관을 재는 방법은 수익률 자기상관 글에 있습니다.

② 변동성이 일정하지 않을 때 — 공식은 기간 내내 σ가 같다고 봅니다. 실제로는 큰 움직임 뒤에 큰 움직임이 몰려 오는 변동성 군집이 흔합니다. 조용한 한 달의 일간 변동성으로 다음 달을 환산하면, 그 사이 변동성이 커지는 순간 계산이 과소평가가 됩니다. 환산에 쓰는 σ는 "지금 이 순간의 추정치"일 뿐이고, 자주 다시 재야 합니다.

③ 꼬리가 두꺼울 때 — 위 확률 계산은 모두 정규분포를 썼습니다. 정규분포에서 하루에 4σ 이상 움직일 확률은 약 0.0063%, 평균 약 1만 5,800일(약 43년)에 한 번입니다. 코인 가격에서는 이 정도 움직임이 그보다 훨씬 자주 관찰되어 왔습니다. 예를 들어 2020년 3월 12일 비트코인은 하루에 30% 넘게 하락했습니다. 그래서 변동성 환산은 "보통의 흔들림"을 가늠하는 데는 쓸 만하지만, 극단 손실을 막는 근거로 쓰면 안 됩니다. 꼬리 위험은 두꺼운 꼬리 분포와 VaR와 CVaR 글에서 이어집니다.

실전에서 쓰는 순서

① 기준 σ를 정한다 — 최근 30~60일 일간 로그 수익률의 표준편차, 또는 지수가중 추정치를 씁니다.
② 보유 시간으로 환산한다 — 4시간 단타면 × √(4/24), 1주 스윙이면 × √7.
③ 손절·목표·청산 거리를 σ 단위로 적는다 — 0.5σ 이하의 손절은 소음에 걸릴 가능성이 높다는 점을 확인합니다.
④ 수량은 1회 손실 금액으로 맞춘다 — 거리가 넓어지면 수량을 줄입니다.
⑤ 공식 밖의 위험은 따로 둔다 — 자기상관·군집·꼬리를 감안해 레버리지와 보유 기간에 여유를 둡니다.

정리

주의

본문의 가격·변동성·자기상관·확률 수치는 모두 계산을 설명하기 위한 가정 예시이며 특정 종목의 실측 통계나 미래 변동을 뜻하지 않습니다. 확률 계산은 방향 우위가 없는 정규분포를 가정한 근사입니다. 이 글은 교육 정보이며 특정 종목·전략의 매수·매도 권유가 아닙니다. 코인 및 선물·레버리지 거래는 원금 손실 위험이 있고, 매매 판단과 그 결과는 본인 책임입니다.