확률적 샤프 비율(PSR) — 샤프 비율을 확률로 바꿔 읽기

샤프 비율은 전략 성과를 비교할 때 가장 많이 쓰는 숫자입니다. 그런데 샤프 비율 2.0이라는 값만으로는 그 숫자를 얼마나 믿어도 되는지 알 수 없습니다. 60일 동안 나온 2.0과 3년 동안 나온 2.0은 같은 무게가 아니고, 가끔 크게 잃는 전략의 2.0과 고르게 버는 전략의 2.0도 다릅니다. 확률적 샤프 비율(PSR, Probabilistic Sharpe Ratio)은 측정된 샤프 비율이 기준값보다 실제로 높을 확률을 계산해 이 차이를 숫자로 보여 줍니다. 본문의 수익률·표본 수·비용은 모두 설명용 가정입니다.

샤프 비율 자체도 추정값이다

샤프 비율은 평균 수익률을 수익률 표준편차로 나눈 값입니다. 문제는 평균과 표준편차 모두 과거 표본에서 계산한 추정값이라는 점입니다. 동전을 10번 던져 앞면이 7번 나왔다고 앞면 확률이 70%라고 단정할 수 없는 것처럼, 짧은 기간에 측정한 샤프 비율에는 큰 오차가 붙어 있습니다.

그래서 질문을 바꿔야 합니다. "샤프 비율이 얼마인가"가 아니라 "진짜 샤프 비율이 0(또는 내가 정한 기준)보다 클 확률이 얼마인가"입니다. PSR은 이 확률을 계산합니다.

PSR 공식

PSR은 다음 네 가지 값으로 계산합니다.

분자는 샤프 비율이 기준을 얼마나 넘었는지와 표본 크기를 곱한 값이고, 분모는 수익률 분포 모양에 따른 보정입니다. 왜도가 음수이거나 첨도가 클수록 분모가 커져 확률이 낮아집니다. 꼬리 위험은 두꺼운 꼬리 분포와 수익률 왜도 글에서 따로 다뤘습니다.

주의할 점은 SR을 연환산하지 않은 값으로 넣어야 한다는 것입니다. 일간 수익률로 n을 세었다면 SR도 일간 값입니다. 연환산 샤프 비율을 넣으면 확률이 터무니없이 높게 나옵니다.

예시 1 — 기본 계산

연환산 1.9라는 숫자만 보면 아주 좋은 전략처럼 보이지만, 1년 치 일간 데이터로는 "진짜 샤프 비율이 0보다 크다"고 말할 확률이 94% 수준입니다. 흔히 쓰는 95% 기준에는 살짝 못 미칩니다.

예시 2 — 표본이 짧을 때

샤프 비율은 똑같은데 확률은 94%에서 78%로 떨어집니다. 두 달 성과로 전략을 판단하면 다섯 번 중 한 번 이상은 실제로 엣지가 없는 전략을 고르는 셈입니다. 표본 크기 문제는 거래 표본 크기 글에서 거래 횟수 기준으로도 정리했습니다.

예시 3 — 음의 왜도와 두꺼운 꼬리

코인 전략에는 평소 조금씩 벌다가 가끔 크게 잃는 형태가 많습니다. 물타기, 그리드, 숏 변동성 성격의 전략이 대표적입니다. 이런 전략은 왜도가 음수이고 첨도가 큽니다.

샤프 비율과 기간이 같아도 분포 모양 때문에 확률이 2%p 낮아집니다. 샤프 비율이 높을수록 이 보정의 영향은 더 커집니다. 분모의 왜도 항은 SR에, 첨도 항은 SR²에 비례하기 때문입니다.

예시 4 — 기준을 0이 아닌 값으로

SR*를 0으로 두면 "돈을 잃지 않는 전략인가"를 묻는 셈입니다. 실제로는 단순 보유나 기존 전략보다 나은지를 묻고 싶을 때가 많습니다. 이때는 SR*에 비교 대상의 샤프 비율을 넣습니다. 비교 대상 선정은 단순 보유 벤치마크 글을 참고하세요.

"0보다 낫다"는 94%로 꽤 믿을 만하지만, "연 0.96짜리 기준보다 낫다"는 78%에 그칩니다. 같은 데이터라도 질문에 따라 확신의 정도가 크게 달라집니다.

예시 5 — 수수료가 확률에 미치는 영향

평균 수익의 4분의 1이 비용으로 빠지자 확률은 94%에서 88%로 내려갑니다. 비용을 빼지 않은 백테스트로 PSR을 계산하면 확률이 과대평가됩니다. 비용 계산은 왕복 거래 비용 글에 있습니다.

최소 트랙레코드 길이(MinTRL)

PSR 공식을 n에 대해 풀면 "원하는 확신 수준에 도달하려면 최소 몇 개의 관측치가 필요한가"를 구할 수 있습니다. 이를 최소 트랙레코드 길이라고 합니다.

샤프 비율이 낮아지면 필요한 기간은 제곱으로 늘어납니다. 비용 때문에 SR이 4분의 3으로 줄면 필요 기간은 약 1.8배가 됩니다. 반대로 말하면, 몇 주 성과로 "이 전략은 확실하다"고 말할 수 있는 경우는 거의 없습니다.

PSR이 해결하지 못하는 것

PSR은 전략 하나를 한 번 시험했다는 전제로 계산합니다. 파라미터를 100가지 바꿔 보고 가장 좋은 결과의 PSR을 계산하면, 그 확률은 실제보다 훨씬 높게 나옵니다. 여러 번 시험한 효과까지 반영하려면 디플레이티드 샤프 비율을 써야 하고, 그 배경은 다중검정의 함정 글에 정리했습니다.

또한 PSR 공식은 수익률이 서로 독립이라고 가정합니다. 수익률에 자기상관이 있거나 변동성이 몰려 다니는 구간이 길면 실제 오차는 공식보다 큽니다. 이런 경우에는 날짜 묶음 단위로 다시 뽑는 블록 부트스트랩 신뢰구간으로 교차 확인하는 편이 안전합니다. 과거 데이터 안에서 높은 PSR이 나왔더라도 워크포워드 분석처럼 보지 않은 구간에서 다시 확인해야 합니다.

정리

주의

본문의 수익률, 표준편차, 왜도·첨도, 비용, 표본 수는 모두 계산 방법을 설명하기 위한 가정 예시이며 실제 전략이나 시장 데이터의 결과가 아닙니다. 높은 PSR도 과거 표본에 대한 통계적 판단일 뿐 미래 성과를 보장하지 않습니다. 이 글은 교육 정보이며 특정 종목·전략의 매수·매도 권유나 특정 수익을 보장하는 내용이 아닙니다. 코인 및 선물·레버리지 거래는 원금 손실 위험이 있고, 매매 판단과 그 결과는 본인 책임입니다.