승률 신뢰구간 — 윌슨 구간으로 소표본 승률의 진짜 범위 구하기

새 전략으로 10번 거래해 10번 다 이겼다면 승률은 100%입니다. 하지만 그 전략의 진짜 승률이 100%라고 믿는 사람은 없습니다. 문제는 "그럼 얼마냐"에 답하는 흔한 공식이 바로 이 상황에서 고장 난다는 점입니다. 이 글은 거래 수가 적거나 승률이 극단일 때도 제대로 작동하는 윌슨(Wilson) 신뢰구간으로 승률의 실제 범위를 구하고, 그 범위를 손익분기 승률과 비교해 전략을 판정하는 방법을 정리합니다. 본문 수치는 계산 구조를 보여주기 위한 가정 예시입니다.

1. 흔한 오차 공식이 고장 나는 지점

승률의 오차 범위를 구할 때 가장 많이 쓰는 공식은 승률 ± 1.96 × √(p × (1−p) ÷ n)입니다. 통계에서는 왈드(Wald) 구간이라고 부릅니다. 거래 수가 충분하고 승률이 50% 근처일 때는 잘 맞습니다. 표준오차의 개념 자체는 거래 표본 크기 글에서 다뤘습니다.

그런데 이 공식은 승률이 0%나 100%에 가까울수록, 거래 수가 적을수록 엉뚱한 값을 냅니다.

세 결과 모두 말이 안 됩니다. 10번 다 이긴 전략도 다음 거래에서 질 수 있고, 승률은 100%를 넘을 수 없습니다. 원인은 왈드 공식이 측정된 승률 p를 진짜 승률인 것처럼 오차 계산에 다시 넣기 때문입니다. p가 1이면 오차가 0으로 계산되는 구조입니다.

2. 윌슨 구간 공식

윌슨 구간은 같은 문제를 반대로 풉니다. "측정값 주변에 오차를 붙이는" 대신 "이 측정값이 나올 법한 진짜 승률의 범위"를 거꾸로 찾습니다. 그래서 결과가 항상 0%~100% 안에 들어오고, 10전 10승에서도 폭이 0이 되지 않습니다.

공식이 길어 보이지만 하는 일은 두 가지입니다. 첫째, 중심을 50% 쪽으로 조금 당깁니다. 10전 10승이면 중심이 100%가 아니라 86% 근처가 됩니다. 둘째, p가 0이나 1이어도 z² ÷ (4n²) 항 덕분에 반폭이 0이 되지 않습니다. 스프레드시트에 한 번 넣어두면 승수와 거래 수만 바꿔 쓸 수 있습니다.

3. 같은 결과, 다른 구간

몇 가지 경우를 직접 계산해 보겠습니다.

두 가지가 보입니다. 첫째, 5전 5승의 하단은 56.6%입니다. 다섯 번 연속으로 이겼다는 사실이 말해주는 것은 "진짜 승률이 절반은 넘을 것 같다" 정도입니다. 둘째, 거래 수가 100을 넘으면 윌슨과 왈드의 차이가 거의 사라집니다(100전 60승 왈드 구간은 50.4% ~ 69.6%). 윌슨 구간이 진짜 필요한 곳은 거래 수가 수십 건 이하이거나 승률이 20% 아래·80% 위로 치우친 경우입니다. 새 전략을 막 시작했을 때가 정확히 그 상황입니다.

4. 연승이 우연으로 나올 확률

구간 하단이 생각보다 낮은 이유는 연승이 우연으로도 꽤 자주 나오기 때문입니다. 진짜 승률별로 10연승이 나올 확률을 계산하면 다음과 같습니다.

진짜 승률 80%짜리 전략도 열 번에 한 번꼴로 10연승을 냅니다. 반대로 진짜 승률 50%인 동전 던지기 전략이 10연승할 확률은 0.1%로 낮습니다. 그래서 10전 10승의 구간 하단이 50%가 아니라 72%에 걸리는 것입니다. 연패 쪽 계산은 연패 확률 계산 글에 정리했습니다.

5. 판정 기준은 구간 하단과 손익분기 승률

승률 구간을 구하는 목적은 "이 전략이 돈을 버는가"를 판정하는 것입니다. 기준선은 50%가 아니라 손익비와 수수료를 넣은 손익분기 승률입니다. 계산법은 수수료 포함 손익분기 승률 글에서 다뤘습니다.

측정 승률 60%는 손익분기 52%보다 8%p나 높아 보이지만, 100거래로는 아직 기준선 아래 가능성을 지우지 못합니다. 측정 승률과 기준선의 차이가 작을수록 필요한 거래 수는 빠르게 늘어납니다. 승률 하나만으로 판단하기 어렵다면 손익비를 함께 봅니다. 두 값의 관계는 승률과 손익비 글에서 설명했습니다.

판정은 세 갈래로 나눕니다.

① 하단 > 손익분기 승률 — 표본 안에서는 이기는 전략일 가능성이 높다고 볼 수 있습니다. 단, 조건을 여러 번 바꿔서 고른 결과라면 이 판정도 믿기 어렵습니다(7번 항목).

② 상단 < 손익분기 승률 — 지는 전략일 가능성이 높습니다. 표본이 적어도 폐기 근거로 쓸 수 있습니다.

③ 구간이 기준선을 걸침 — 아직 모릅니다. 대부분의 새 전략은 처음 수십 거래 동안 여기에 머뭅니다.

6. 신뢰수준을 바꾸면

95%는 관례일 뿐 정답은 아닙니다. z 값을 바꾸면 구간 폭이 달라집니다.

신뢰수준을 낮추면 구간이 좁아져 판정이 빨라지지만, 틀린 판정도 늘어납니다. 실제 돈을 늘리는 결정(크기 증가, 레버리지 상향)에는 95% 이상을, 소액으로 계속 관찰할지 정하는 결정에는 80~90%를 쓰는 식으로 결정의 무게에 맞춰 미리 정해 둡니다. 결과를 본 뒤 구간이 마음에 들도록 신뢰수준을 고르면 계산하는 의미가 없어집니다.

7. 윌슨 구간이 보정하지 못하는 것

① 여러 전략 중 고른 결과. 조건을 20가지로 바꿔 돌린 뒤 가장 잘 나온 하나의 구간을 계산하면, 그 구간은 실제보다 낙관적입니다. 윌슨 구간은 "한 번 정해서 한 번 잰" 경우를 가정합니다. 이 함정은 다중 검정 함정 글에서 다뤘습니다.

② 거래끼리 독립이 아닌 경우. 같은 날 같은 방향으로 여러 코인에 들어가면 사실상 한 번의 베팅입니다. 10건이 한 장세에 몰려 있으면 유효 표본은 10보다 훨씬 작습니다.

③ 미청산 거래를 뺀 경우. 이긴 거래는 빨리 닫히고 진 거래는 오래 들고 가는 경향이 있어, 청산된 거래만 세면 승률이 부풀려집니다. 자세한 내용은 청산 거래 승률 착시 글에 있습니다.

④ 크기 정보. 승률 구간은 이겼는지 졌는지만 봅니다. 승률 구간이 기준선 위에 있어도 진 거래 한 건이 크면 손실입니다. 손익 금액 자체의 분포는 별도로 봐야 합니다.

거래가 쌓일 때마다 추정치를 갱신하는 방식이 궁금하다면 베이즈 승률 업데이트 글이 같은 문제를 다른 방향에서 다룹니다.

8. 실전 순서

정리

흔히 쓰는 승률 ± 오차 공식은 거래 수가 적거나 승률이 극단일 때 0% 폭이나 100% 초과 구간을 내놓습니다. 윌슨 구간은 이 문제를 고쳐, 10전 10승도 72.2% ~ 100%라는 현실적인 범위로 돌려줍니다. 20전 12승의 구간은 38.7% ~ 78.1%, 100전 60승도 50.2% ~ 69.1%로 여전히 넓습니다. 판정은 측정 승률이 아니라 구간 하단을 손익분기 승률과 비교해서 내립니다. 하단이 기준선을 넘기 전까지는 "이기는 전략"이 아니라 "아직 모르는 전략"입니다.

주의

본문의 승률, 거래 수, 수수료율, 손익 폭은 계산 방법을 보여주기 위한 가정 예시이며 특정 전략의 실측 성과가 아닙니다. 윌슨 구간은 거래 결과가 서로 독립이고 진짜 승률이 기간 내내 일정하다는 가정 위에서 계산되며, 시장 상황이 바뀌면 과거 구간이 미래에도 맞는다는 보장은 없습니다. 이 글은 교육 정보이며 특정 자산의 매매 권유가 아닙니다. 코인 투자는 원금 손실 위험이 있고, 투자 판단과 그 결과는 본인 책임입니다.