분산비 검정(Variance Ratio Test) — 랜덤워크·추세·평균회귀 판별법

가격이 정말 무작위로 움직인다면 1주일 수익률의 분산은 하루 수익률 분산의 7배가 되어야 합니다. 7배보다 크면 하루의 움직임이 다음 날로 이어지는 경향(추세), 작으면 움직임이 되돌아가는 경향(평균회귀)이 있다는 뜻입니다. 이 비율을 재는 것이 분산비 검정(Variance Ratio Test)입니다. 추세추종을 쓸지 역추세를 쓸지 정하기 전에 해볼 수 있는 가장 단순한 확인 방법 중 하나입니다. 이 글은 계산법과 유의성 판단, 그리고 결과를 잘못 읽기 쉬운 경우를 숫자 예시로 정리합니다. 본문의 수치는 모두 설명용 가정입니다.

기본 아이디어

로그 수익률이 서로 독립이고 분산이 일정하면, q기간 수익률은 1기간 수익률 q개를 더한 값이므로 분산도 q배가 됩니다. 이 성질을 그대로 비율로 만든 것이 분산비(VR)입니다. 로그 수익률을 쓰는 이유는 기간을 더하기로 합칠 수 있기 때문입니다(로그 수익률과 단순 수익률).

예시 1 — 일봉으로 주간 분산비 계산

두 경우 모두 하루 변동성은 같습니다. 차이는 그 하루하루가 서로 이어지느냐 상쇄되느냐입니다. 하루 변동성만 보고 "7일이면 이 정도 움직이겠지" 하고 손절 폭을 정하면, 추세형 구간에서는 예상보다 크게 밀리고 평균회귀형 구간에서는 불필요하게 넓게 잡게 됩니다.

자기상관과의 관계

분산비는 짧은 시차의 수익률 자기상관을 가중합한 값과 같습니다. 자기상관을 하나씩 보는 대신 여러 시차를 한 숫자로 묶어 본다고 이해하면 됩니다.

가까운 시차일수록 가중치가 큽니다. 시차 하나하나는 작아서 의미 없어 보여도 같은 부호로 쌓이면 VR은 눈에 띄게 1에서 멀어집니다. 장기 기억을 다른 방식으로 재는 지표가 허스트 지수인데, 허스트 지수 0.5 근처가 VR 1 근처와 대응한다고 보면 됩니다.

예시 2 — 1에서 얼마나 멀어야 의미가 있나

VR이 1.10으로 나왔다고 바로 추세형이라고 할 수는 없습니다. 표본에서 계산한 분산은 우연히도 흔들리기 때문입니다. Lo와 MacKinlay가 제시한 검정은 랜덤워크 가정에서 VR의 표준오차를 계산해 z값을 구합니다.

같은 VR 1.10이라도 1년치 일봉으로는 우연과 구분되지 않고, 3년 가까운 데이터에서는 구분됩니다. q가 커질수록 표준오차도 커져서 긴 기간의 분산비는 웬만큼 1에서 벗어나지 않으면 판단이 어렵습니다.

예시 3 — 코인에서 특히 조심할 점: 변동성 군집

위 표준오차는 분산이 일정하다는 가정에서 나온 것입니다. 코인 수익률은 큰 움직임이 몰려서 나타나는 변동성 군집이 강하고 꼬리도 두껍습니다(두꺼운 꼬리 분포). 이런 데이터에는 이분산을 반영한 견고(robust) 표준오차를 써야 하고, 보통 값이 더 커집니다.

폭락 며칠이 표본에 포함되면 그 며칠이 분산 추정을 좌우합니다. 같은 기간을 견고 표준오차로 다시 보면 결론이 바뀌는 경우가 흔합니다. 결과가 특정 사건 하나에 기대고 있지 않은지, 그 구간을 빼고도 비슷한지 확인하는 편이 좋습니다.

예시 4 — 겹치지 않는 구간으로 계산하면

그래서 보통은 하루씩 밀어가며 겹치는 7일 구간을 모두 쓰고, 위의 Lo-MacKinlay 식도 이 방식을 전제로 합니다. 겹치는 구간을 써도 표본이 작으면 VR은 1보다 약간 낮게 나오는 편향이 있습니다. 데이터가 1년 남짓이면 0.9 정도의 값은 평균회귀의 증거로 보기 어렵습니다.

예시 5 — 통계적으로 유의해도 돈이 되는지는 별개

VR이 1보다 크다는 것은 어제 오른 방향으로 오늘도 갈 확률이 조금 높다는 뜻입니다. 그 차이가 거래 비용보다 큰지는 따로 계산해야 합니다.

짧은 시간 단위에서는 표본이 많아 아주 작은 자기상관도 유의하게 나오지만, 한 번의 움직임 자체가 작아 비용을 넘지 못합니다. 통계적 유의성과 실거래 수익성을 같은 것으로 보면 안 되는 이유입니다. 비용 계산은 거래 빈도와 수수료 잠식에 따로 정리했습니다.

실무에서 쓰는 순서

⑤가 특히 중요합니다. 코인 시장은 상승장·하락장·횡보장에 따라 성격이 바뀌어서 전체 기간 VR 하나로는 어느 구간에 무엇이 통했는지 알 수 없습니다. 기간을 바꿔도 유지되는지 확인하는 방법은 워크포워드 분석, 여러 조건을 시험하다 우연한 결과를 고르는 문제는 과최적화에서 다뤘습니다.

자주 하는 오해

정리

분산비 검정은 긴 기간 수익률의 분산이 짧은 기간 분산의 몇 배인지 보고, 가격 움직임이 이어지는지 되돌아가는지를 판단하는 방법입니다. VR이 1보다 크면 추세형, 작으면 평균회귀형 경향이고, 이는 짧은 시차 자기상관을 가중합한 값과 같습니다. 다만 표본이 작거나 변동성이 몰려 있으면 1에서 꽤 벗어나도 우연일 수 있으므로 견고 표준오차와 기간 분할로 확인해야 합니다. 그리고 통계적으로 의미가 있어도 거래 비용을 넘는지는 별도의 계산이 필요합니다. 추세추종 전략 자체의 구조는 추세추종, 반대쪽은 평균회귀에서 볼 수 있습니다.

주의

본문의 변동성·자기상관·표준오차·수수료 수치는 모두 계산을 설명하기 위한 가정 예시이며 특정 코인의 실제 측정값이나 미래 수익을 뜻하지 않습니다. 이 글은 교육 정보이며 특정 자산·전략의 매수·매도 권유가 아닙니다. 코인과 선물·레버리지 거래는 원금 손실 위험이 있고, 투자 판단과 그 결과는 본인 책임입니다.