카파 비율(Kappa Ratio) — 오메가·소르티노를 하나로 묶는 하방 적률 지표

카파 비율(Kappa Ratio)은 기준 수익률을 넘는 평균 초과수익을, 기준 아래로 떨어진 손실들을 n제곱해 평균 낸 값(하방 부분 적률)의 n제곱근으로 나눈 지표입니다. 2002년 Kaplan과 Knowles가 정리한 방식으로, 차수 n 하나만 바꾸면 오메가 비율과 소르티노 비율이 같은 공식에서 나옵니다. n을 키울수록 작은 손실 여러 번보다 큰 손실 한 번을 더 무겁게 셉니다. 본문의 수익률은 모두 설명용 가정입니다.

정의와 공식

먼저 기준 수익률 τ(최소 요구 수익률)를 정합니다. 보통 0%, 무위험 수익률, 또는 펀딩비만큼의 비용을 씁니다. 그다음 τ보다 낮았던 기간만 골라 "얼마나 모자랐는지"를 n제곱해 전체 기간 수로 나눕니다. 이 값이 하방 부분 적률(Lower Partial Moment, LPM)입니다.

τ보다 높았던 기간은 분모에 0으로 들어갑니다. 즉 이익이 크게 나든 작게 나든 분모에는 영향이 없고, 분자인 평균 수익률을 통해서만 반영됩니다. 위쪽 변동을 위험으로 세지 않는다는 점은 소르티노 비율과 같고, 손실을 몇 제곱으로 셀지를 고를 수 있다는 점이 다릅니다. 표준편차로 위아래를 함께 묶는 방식은 샤프 비율에서 비교할 수 있습니다.

예시 1 — 한 전략의 카파₁·₂·₃

10일 동안의 일간 수익률(%)을 가정하고 τ = 0%로 계산합니다.

같은 기록인데 n이 올라갈수록 값이 작아집니다. 차수가 높을수록 분모가 가장 큰 손실(−3.5%)에 끌려 커지기 때문입니다. 그래서 서로 다른 차수의 카파 값은 직접 비교하지 않습니다. 비교는 항상 같은 n, 같은 τ, 같은 기간 단위끼리 합니다.

예시 2 — 손실 합계가 같은 두 전략

전략 B는 평균도 +0.1%로 같고, 손실 합계도 7%로 같습니다. 다만 손실이 하루에 몰려 있습니다.

오메가 비율(카파₁)은 손실을 단순 합으로만 보므로 두 전략을 구분하지 못합니다. 손실 7%가 네 번에 나뉘었든 하루에 −6%로 몰렸든 같은 값입니다. 차수를 올리면 몰린 손실이 드러납니다. 레버리지 계좌에서는 하루 −6%가 배율만큼 커져 청산선에 닿을 수 있으므로, 손실이 몰리는 구조를 구분하는 것이 실무적으로 의미가 있습니다. 분포의 비대칭 자체를 재는 방법은 수익률 왜도에서 다뤘습니다.

예시 3 — 큰 손실 하루의 비중

전략 B의 LPM₃ 21.625에서 −6% 하루가 차지하는 몫을 계산합니다.

차수가 높은 카파는 사실상 "가장 나빴던 하루"의 함수가 됩니다. 표본이 짧으면 그 하루가 들어갔는지 빠졌는지에 따라 값이 몇 배씩 달라집니다. 코인 수익률은 정규분포보다 꼬리가 두꺼워 이런 하루가 드물지 않습니다(팻테일 수익률 분포 참고). 카파₃ 이상을 쓸 때는 손실 기간이 최소 수십 개 이상인 기록을 쓰고, 기간을 나눠 다시 계산했을 때 값이 얼마나 흔들리는지 확인하는 편이 낫습니다. 오차 범위를 재는 방법은 블록 부트스트랩 신뢰구간에 정리했습니다.

예시 4 — 레버리지와 수수료

τ = 0%일 때 레버리지는 분자와 분모를 같은 배수로 키워 카파 값을 바꾸지 않습니다. 카파는 위험의 절대 크기가 아니라 "평균 이익 대비 손실의 무게"를 말해 주는 상대 지표라는 뜻입니다. 2배 레버리지에서 가장 나쁜 하루는 −7%가 되므로, 계좌가 감당할 수 있는지는 손실의 절대값으로 따로 봐야 합니다. τ를 0이 아닌 값으로 잡으면 레버리지에도 값이 달라집니다. 반면 매일 빠지는 비용은 분자를 줄이고 분모를 늘려 카파₂를 0.0756에서 0.037로 절반 아래로 낮췄습니다. 평균 초과수익이 작은 전략일수록 비용에 민감하므로, 수수료와 펀딩비를 뺀 수익률로 계산해야 합니다.

기준 수익률 τ 정하기

τ를 올리면 분자는 줄고 분모는 커져 값이 빠르게 낮아집니다. 서로 다른 τ로 계산한 값을 나란히 놓으면 비교가 성립하지 않으므로, 보고할 때는 τ와 n을 함께 적습니다. 위쪽 적률까지 같이 써서 비율을 만드는 방법은 상방 잠재력 비율, 꼬리 평균끼리 비교하는 방법은 라체프 비율에서 볼 수 있습니다.

직접 계산할 때의 순서

스프레드시트에서는 수익률 열 옆에 =MAX(τ−r,0)^n 열을 만들고 평균을 구한 뒤 n제곱근을 씌우면 됩니다. 일간 값과 월간 값은 단순 배수로 환산되지 않으므로, 기간 단위가 다른 카파끼리 비교하지 않습니다.

정리

카파 비율은 (평균 수익률 − τ)를 하방 부분 적률의 n제곱근으로 나눈 값입니다. n = 1이면 오메가 비율에서 1을 뺀 값, n = 2면 소르티노 비율과 같습니다. 손실 합계가 같아도 손실이 한 번에 몰린 전략은 n이 커질수록 낮게 나오며, 예시에서는 n = 3에서 1.61배 차이가 났습니다. 대신 차수가 높을수록 가장 큰 손실 하나에 값이 좌우되므로 표본 길이를 확인해야 합니다. τ = 0%에서는 레버리지에 변하지 않고, 매일 빠지는 비용에는 크게 낮아집니다.

주의

본문의 수익률, 레버리지, 비용 수치는 모두 계산 구조를 설명하기 위한 가정 예시이며 실제 측정값이나 미래 수익을 뜻하지 않습니다. 과거 기록으로 계산한 카파 비율은 앞으로의 분포를 보장하지 않습니다. 이 글은 교육 정보이며 특정 자산·전략의 매수·매도 권유가 아닙니다. 코인과 선물·레버리지 거래는 원금 손실 위험이 있고, 투자 판단과 그 결과는 본인 책임입니다.