브로이슈-파간 검정: 잔차 분산이 일정한지 확인하기

브로이슈-파간(Breusch-Pagan) 검정은 회귀를 돌린 뒤 잔차의 크기가 설명변수 값에 따라 달라지는지, 즉 이분산성이 있는지 확인합니다. 이분산성이 있으면 기울기 추정치는 그대로여도 표준오차와 t값이 틀어집니다. 본문 숫자는 계산 구조를 보여주는 가정 예시입니다.

1. 이분산성이란

회귀분석은 보통 "잔차의 분산이 모든 구간에서 같다(등분산)"고 가정하고 표준오차를 계산합니다. 그런데 가격 데이터는 변동성이 큰 날과 작은 날이 섞여 있어서, 설명변수가 클 때 잔차도 크게 흩어지는 경우가 흔합니다. 이렇게 잔차의 퍼짐이 구간마다 다른 상태가 이분산성입니다.

변동성이 뭉쳐서 나타나는 현상은 변동성 군집에서, 잔차끼리의 닮음은 더빈-왓슨 검정에서 다룹니다. 브로이슈-파간은 "잔차의 크기가 설명변수와 관련 있는가"를 묻는 검정입니다.

2. 검정 절차

핵심은 보조회귀의 R²입니다. 잔차 제곱이 설명변수로 잘 설명될수록 R²가 커지고, 분산이 설명변수에 의존한다는 뜻이 됩니다.

3. 숫자 예시

같은 R²라도 표본이 크면 LM이 커집니다. n = 2,000에서 R² = 0.006이면 LM = 12.0으로 기각됩니다. 표본이 클수록 아주 작은 이분산성도 통계적으로 잡히므로, 기각 여부와 함께 실제 영향 크기도 봐야 합니다.

4. 이분산성이 있으면 무엇이 달라지나

기울기 자체는 크게 틀어지지 않지만, 표준오차가 과소 계산되면 우연히 나온 관계를 유의하다고 착각하기 쉽습니다. 백테스트에서 "유의한 신호"를 찾았다면 이 점검이 필요합니다.

5. 보정 방법

· 강건 표준오차(White, HC 계열): 기울기는 그대로 두고 표준오차만 이분산성에 맞게 다시 계산합니다. 가장 간단합니다.
· 가중최소제곱(WLS): 분산이 큰 관측에 작은 가중치를 줍니다. 분산 구조를 알고 있을 때 씁니다.
· 변수 변환: 가격 대신 로그수익률을 쓰면 크기에 비례해 커지는 분산이 줄어드는 경우가 많습니다.
· 자기상관도 함께 의심되면 HAC(Newey-West) 표준오차를 씁니다.

6. 한계

· 분산이 설명변수의 선형 함수라는 형태를 가정합니다. 곡선 형태의 관계는 놓칠 수 있고, 이때는 White 검정처럼 제곱항을 포함한 검정을 씁니다.
· 잔차 정규성에 민감합니다. 꼬리가 두꺼운 수익률에서는 기각이 과하게 나올 수 있어 자크-베라 정규성 검정으로 분포 모양을 함께 확인합니다.
· 모형이 잘못 설정된 경우(빠진 변수, 비선형 관계)에도 기각이 나옵니다. 기각이 곧 분산 문제라고 단정할 수 없습니다.
· 통과해도 전략이 수익을 낸다는 뜻이 아닙니다. 모형의 통계적 전제만 점검합니다.

7. 실무 순서

① 회귀식과 기간을 데이터를 보기 전에 기록합니다.
② 회귀를 돌려 잔차를 저장하고 잔차 제곱을 설명변수에 다시 회귀시킵니다(파이썬 statsmodels의 het_breuschpagan).
③ LM과 p값을 확인합니다. p값이 0.05 미만이면 이분산성을 의심합니다.
④ 강건 표준오차로 t값을 다시 계산해 결론이 유지되는지 봅니다.
⑤ 표본이 짧으면 결론을 약하게 둡니다. 표본 크기의 영향은 거래 표본 크기를 참고하세요.

정리

브로이슈-파간 검정은 잔차 제곱을 설명변수에 회귀시킨 R²로 LM = n × R²를 만들고, 카이제곱 임계값과 비교해 등분산 가정을 확인합니다. 기각되면 기울기 추정치는 유지되더라도 표준오차와 t값이 달라지므로 강건 표준오차로 결론을 다시 확인해야 합니다. 이 검정은 수익 가능성이 아니라 회귀의 통계적 전제만 점검합니다.

주의

본문의 R², LM, 베타, 표준오차는 계산 구조를 보여주기 위한 가정 예시이며 특정 전략이나 코인의 실제 측정값이 아닙니다. 임계값은 표준 카이제곱 표의 값입니다. 이 글은 교육 정보이며 특정 자산의 매매 권유가 아닙니다. 코인 선물 거래는 원금 손실 위험이 크고, 투자 판단과 그 결과는 본인 책임입니다.