더빈-왓슨 검정: 회귀 잔차의 자기상관 확인법

더빈-왓슨(DW) 검정은 회귀분석을 한 뒤 남은 잔차가 서로 이웃끼리 닮았는지를 0~4 사이의 숫자 하나로 요약합니다. 잔차에 자기상관이 남아 있으면 회귀의 표준오차와 t값이 믿을 수 없게 됩니다. 본문 숫자는 계산 구조를 보여주는 가정 예시입니다.

1. 왜 잔차를 보는가

전략의 일별 수익률을 시장 수익률에 회귀시키면 기울기(베타)와 절편(알파)이 나옵니다. 이 추정치의 신뢰구간은 "잔차가 서로 독립"이라는 가정 위에서 계산됩니다. 잔차가 이웃끼리 같은 방향으로 쏠려 있으면 표본이 실제보다 많은 정보를 주는 것처럼 계산되어 t값이 부풀려집니다.

수익률 자체의 자기상관은 수익률 자기상관에서, 여러 시차를 한꺼번에 보는 방법은 융-박스 검정에서 다룹니다. DW는 그중 회귀 잔차의 1차(바로 앞 시점) 자기상관만 보는 가장 단순한 도구입니다.

2. 계산식

같은 부호가 길게 이어진 잔차라서 이웃 차이가 작고, DW가 0 쪽으로 내려갑니다.

3. 숫자 읽는 법

위 미니 계산의 DW = 0.36은 ρ ≈ 0.82에 해당하는 강한 양의 자기상관입니다. 다만 T = 6은 설명용이고, 실제로는 표본이 충분해야 판정이 의미 있습니다.

4. 판정 기준

DW의 분포는 설명변수에 따라 달라서, 통계표에는 하한 d_L과 상한 d_U 두 값이 있습니다. 표본 수와 설명변수 개수로 표에서 찾습니다.

음의 자기상관은 4에서 뺀 값(4 − DW)을 같은 표와 비교합니다. 임계값은 표본 크기별 근사치이므로 실제 검정은 통계 소프트웨어의 값을 씁니다.

5. 사례

6. 한계

· 1차 자기상관만 본다: 5일 주기처럼 먼 시차의 패턴은 DW가 2 근처로 나와 놓칠 수 있습니다. 여러 시차는 융-박스 검정으로 따로 봅니다.
· 종속변수의 시차를 설명변수에 넣은 모형(자기회귀형)에서는 DW가 2 쪽으로 편향됩니다. 이 경우 다른 검정(Durbin h, Breusch-Godfrey)을 써야 합니다.
· 판정 불가 구간이 존재해 결론이 안 나올 수 있습니다.
· 정규성·등분산은 별개 가정입니다. 잔차 분포의 모양은 자크-베라 정규성 검정으로 따로 확인합니다.
· 잔차가 작아졌다고 전략이 좋아진 것은 아닙니다: DW는 모형의 통계적 전제를 점검할 뿐 손익을 말해주지 않습니다.

7. 실무 순서

① 회귀식(종속변수, 설명변수, 기간)을 데이터를 보기 전에 기록합니다.
② 회귀를 돌려 잔차를 저장하고 DW를 계산합니다(파이썬 statsmodels의 durbin_watson).
③ 2에서 크게 벗어나면 ρ ≈ 1 − DW÷2로 자기상관 크기를 가늠합니다.
④ 자기상관이 있으면 HAC(Newey-West) 표준오차로 t값을 다시 계산하고 결론이 유지되는지 봅니다.
⑤ 표본이 짧으면 결론을 약하게 둡니다. 표본 크기의 영향은 거래 표본 크기를 참고하세요.

정리

DW는 Σ(이웃 잔차 차이)² ÷ Σ잔차²로 계산하며 0~4 사이 값을 가집니다. 2 근처면 1차 자기상관이 없고, 0 쪽이면 양의, 4 쪽이면 음의 자기상관입니다. 근사식 DW ≈ 2(1 − ρ)로 자기상관계수를 역산할 수 있습니다. 자기상관이 확인되면 표준오차를 보정해 t값을 다시 확인해야 하며, DW 자체는 수익 가능성을 말해주지 않습니다.

주의

본문의 잔차, 베타, 알파, t값은 계산 구조를 보여주기 위한 가정 예시이며 특정 전략이나 코인의 실제 측정값이 아닙니다. 임계값은 대표적인 근사치입니다. 이 글은 교육 정보이며 특정 자산의 매매 권유가 아닙니다. 코인 선물 거래는 원금 손실 위험이 크고, 투자 판단과 그 결과는 본인 책임입니다.